考虑电子在周期势场中的运动，它有两个极限，一个是周期势场非常弱，弱到电子几乎可看做是“自由”地运行的。这就是近自由电子近似。
另一个极限是周期势场很强，强到电子几乎只能在一个格点附近运动。但如果真严格到电子只能在晶格内一个格点上运动，这个解就是平庸的。
比如电子处在第一个格点内，电子的能量是E0，电子在第二个格点内，电子的能量也是E0，……
我们对这个过分严格的条件稍加放松，允许电子可以有一定几率出现在相邻格点上，但绝对不允许电子出现在相邻的相邻格点上，这就是所谓紧束缚近似。
根据紧束缚近似的条件，电子的哈密顿算符应满足：
上式右侧第一项表示电子位于格点n时的能量是E0，同时电子还可以向左运动到格点n-1，向右运动到格点n+1，对应能量都是-Δ。
假设T(a)表示平移算符，a是晶格常数，对周期势场V(x)=V(x+a)而言，哈密顿量H与平移算符T(a)是对易的，[H, T(a)]=0。
这意味着存在H和T(a)的共同本征态θ，
我们构造θ为电子位于不同格点n的所有本征态的叠加：
我们可以验证θ确实是平移算符T(a)的本征态，
考虑到T(a)是平移算符，满足：
所以：
考虑到T(a)是幺正算符，但不一定是厄米算符，所以T(a)的本征值不一定是实数。
现在来计算Hθ=?
为了理解上式中出现的参数θ，我们考虑波函数θ(x')和θ(x'-a)，
考虑：
由上式可知：θ=ka，这意味着在紧束缚近似下，薛定谔方程的能量本征值是：E(k)=E0-2Δcoska。
紧束缚近似下求解出来的色散关系E(k)
这个解是严格成立的，在推导过程中并没有用到微扰论。
其次我们还可以得到：u(x'-a)=u(x')，这正是固体物理中的布洛赫定理。布洛赫定理说，电子在周期势中的波函数θ(x')可表示为：
的形式，其中u是晶格a的周期函数。
值得一提的是在“近自由电子近似”下，我们把弱的周期势V用微扰处理，布里渊区边缘的地方由于电子能量接近而发生强烈的混合（简并微扰，或近简并微扰），导致能量本征值显著地升高或降低，从而使色散关系明显地偏离自由电子的色散关系（抛物线形）。
近自由电子近似下，电子色散关系在微扰理论下在布里渊区的边界处打开一个能隙（gap）。
先给出答案，紧束缚近似用到了微扰论
在固体物理学中，紧束缚模型（或TB模型）是使用基于孤立原子的波函数的线性叠加的一组近似波函数来计算电子能带结构的方法。 该方法与化学中使用的LCAO方法（原子轨道线性组合法）类似。 紧束缚模型应用于各种固体。在许多情况下，该模型给出了很好的定性结果。并且可以与其他模型结合，在紧束缚模型失效的情况下给出更好的结果。 虽然紧束缚模型是单电子模型，但该模型还为更高级的计算提供了基础，如计算表面态、多体问题上的应用以及准粒子相关的计算。
提出背景
1928年，罗伯特·穆利肯（Robert Mulliken）提出了分子轨道的想法，弗里德里希·亨德（Friedrich Hund）的工作对他的想法有很大的启发。后来分子轨道的LCAO方法于1928年由B.N.Finklestein和G.E.Howowitz引入。而LCAO固体方法由Felix Bloch发展，是他1928年博士论文的一部分，与LCAO-MO方法同时并且独立研究。用于近似电子能带结构的更简单的方法，是由约克·克拉克·斯莱特（John Clarke Slater）和乔治·弗雷德·科斯特（George Fred Koster）在1954年构造的参数化紧束缚方法，该方法有时被称为SK紧束缚法。特别是对于过渡金属的d电子，该方法显得非常适用。使用SK紧束缚方法，固体电子能带结构计算不需要像原始布洛奇定理那样以严格的方式进行，而是仅在高对称点进行第一原理计算，而能带结构在这些点之间的布里渊区域的其余部分可以内插。
在这种方法中，不同原子之间的相互作用被认为是微扰。晶体哈密尔顿算子只是位于不同位置的原子哈密尔顿算子的总和，并且原子波函数与晶体中的相邻原子位置重叠，因此波函数不是精确的表示。
最近，关于强关联材料的研究中，紧束缚方法只作为基本近似，因为像3-d过渡金属电子这样的高度局域化电子有时显示出强关联的行为。在这种情况下，必须使用多体物理来描述电子 - 电子相互作用。
紧束缚模型通常用于计算静态环境中的电子带结构和带隙。然而，结合随机相位近似（RPA）模型等其他方法，也可以研究系统的动态过程。
原子附近的电子主要受到该原子的势场作用，将其它原子对电子的作用看做微扰。将晶体中电子的波函数看作原子轨道波函数的线性叠加。
1. 基本思想
- 紧束缚近似
近自由电子近似方法认为原子实对电子的作用很弱，因而电子的运动基本上是自由的。其结果主要适用于金属的价电子，但对其他晶体中的电子，即使是金属的内层电子也并不适用。在大多数晶体中，电子并不是那么自由的，即使是金属和半导体中，其内层电子也要受到原子实较强的束缚作用。当晶体中原子的间距较大，因而原子实对电子有相当强的束缚作用。因此，当电子距某个原子实比较近时，电子的运动主要受该原子势场的影响，这时电子的行为同孤立原子中电子的行为相似。这时，可将孤立原子看成零级近似，而将其他原子势场的影响看成小的微扰。这种方法称为紧束缚近似 (Tight Binding Approximation)。
2. 哈密顿量的组成形式
- Tb model，在孤立原子轨道上的能量看成零级近似，而将其他原子势场的影响看成小的微扰。
3. 电子波函数
- Tb model，晶体电子波函数由孤立原子轨道波函数线性叠加而成
定性讨论
晶体中的周期性势场为所有孤立原子的势场之和
电子的波函数为原子轨道波函数的线性叠加
- ① 电子在原子间隧穿，在各原子附近有出现的几率～|am|2
- ② N 个简并态的简并微扰。
- 一个原子能级ei对应一个能带，不同的原子能级对应不同的能带。当原子形成固体后，形成了一系列能带
- 能量较低的能级对应的能带较窄
- 能量较高的能级对应的能带较宽
能带结构
